设a>1，函数f(x)=(+)x,(1)判断函数的奇偶性;(2)求证：对于x≠0,f(x)>0.

题型：解答题难度：简单来源：不详

设a>1，函数f(x)=(+)x,
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求证：对于x≠0,f(x)>0.

答案

(2)证明:x>0时,∵a>1a^x>1,易证f(x)>0,而x<0时,由f(x)=f(-x)>0,故对于x≠0,f(x)>0.(1)f(x)为定义域上的增函数.
(2)证明:x>0时,∵a>1a^x>1,易证f(x)>0,而x<0时,由f(x)=f(-x)>0,故对于x≠0,f(x)>0.
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解析

(1)由题意得函数f(x)=(+)x的定义域为x∈（-∞,0）∪（0,+∞）.
对于定义域内任意x，有
f(-x)="(" +)(-x)
=( -)x
=(+)x=f(x),
∴f(x)为定义域上的增函数.