(1)∵F(x)=(x2+1)lnx –2x+2. ∴F ′(x)= 2xlnx+. ∴当x≥1时,F′(x)≥0且仅当x = 1时F′(x)=" 0" ∴F(x)在(1,+∞)上单调递增。 (2)∵0<a<b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb] ∴要证值域的长度大于, 即证lnb – lna> 只要证ln ∵0<a<b,∴令 则只要证lnx> (x>1) 即证(x2+1)lnx –(2x –2)>0 (※) 由(1)可知F(x)在(1,+∞)上单调递增∴F(x)>F(1)=" 0" 所以(※)式成立. ∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于.……9分 (3)∵f (x) = xlnx= 令h (x) = xlnx(x>0).则h ′(x)=lnx+1, 易知,在上单调递减,在上单调递增 当时, 令,则 易知,在上单调递增,在上单调递减 当时, ∵∴方程f(x)=不存在实数根 |