解:(Ⅰ)由题意知, 当时,f(x)的定义域为;当a>1时,f(x)的定义域为, , 当时,x∈, 因为,故f′(x)<0,所以f(x)是减函数; 当a>1时,x∈, 因为,故f′(x)<0,所以f(x)是减函数; (Ⅱ)因为,所以, 由函数定义域知>0, 因为n是正整数,故0<a<1, 所以; (Ⅲ), 所以, 令h′(x)=0,即,由题意应有△≥0,即m≥0, ①当m=0时,h′(x)=0有实根x=-1,在x=-1点左右两侧均有,故无极值; ②当0<m<1时,h′(x)=0有两个实根, 当x变化时,h′(x)、h(x)的变化情况如下表所示:
∴h(x)的极大值为,h(x)的极小值为; ③当m≥1时,h′(x)=0在定义域内有一个实根,, 同上可得h(x)的极大值为; 综上所述,时,函数h(x)有极值, 当0<m<1时h(x)的极大值为,h(x)的极小值为;当m≥1时,h(x)的极大值为。 |