已知函数f（x）=loga（ax-1），（a＞0且a≠1）。（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数y=f（x）过（1，0）点，求f（x）的解析式，并用定义法

题型：解答题难度：一般来源：0123 月考题

已知函数f（x）=log_a（a^x-1），（a＞0且a≠1）。
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）过（1，0）点，求f（x）的解析式，并用定义法证明函数f（x）在定义域上是增函数；
（III）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=f（x）-log₂（m·2^x+m）在（0，+∞）上存在零点，求实数m的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）由得，
①当a＞1时，解得：x>0，此时，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
②当0＜a＜1时，解得：x<0，此时，函数f（x）的定义域为（-∞，0）；
（Ⅱ）由已知得f（1）=0，即，解得：a=2
所以，，x>0
设，是区间（0，+∞）上的任意两个实数，且，
则，
因为，所以，即，
于是得：，所以
即，所以，
所以函数f（x）在定义域上是增函数；
（III）由（Ⅱ）得，
由题意得，方程在（0，+∞）有实根，
即，对成立，
令，，则，因为函数在（1，+∞）上为增函数，
由函数m（t）的图象可知：m∈（0，1）
综上所述：实数m的取值范围为（0，1）