我们知道，y=ax(a＞0且a≠1)与y=logax(a＞0且a≠1)互为反函数。只要把其中一个进行指对互化，就可以得到它的反函数的解析式。任意一个函数y=f(

题型：解答题难度：一般来源：同步题

我们知道，y=a^x(a＞0且a≠1)与y=log_ax(a＞0且a≠1)互为反函数。只要把其中一个进行指对互化，就可以得到它的反函数的解析式。任意一个函数y=f(x)，将x用y表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应，如果存在反函数，应是对于y的每一个值，x都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？
(1)y=2x+1；
(2)y=；
(3)y=x²；
(4)y=。

答案

解：(1)∵y=2x+1是单调增函数，由y=2x+1解得x=(y-1)，
这时对任意y∈R，都有唯一确定的x与之对应，也就是x是y的函数，
按习惯用x表示自变量，y表示函数，
则y=2x+1的反函数为y=(x-1)．
(2)同(1)的道理，∵y=单调增，也存在反函数，由y=解出x=y²，
∴y=的反函数为y=x²，因为这里的x就是y=中的y且y≥0，
∴x≥0，即反函数为y=x²(x≥0)．
(3)∵x=±1时，都有y=1，反过来对于y=1，x有两个值与之对应，故y=x²不存在反函数．
(4)由y=，解得x=，
对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，
故存在反函数，反函数为y=(x≠2)．