试题分析:(I)将函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)化一可得:F(x)=1+sin(2x+),由此可得F(x)的最小正周期及单调区间.(Ⅱ) 由得这样可得sin(2x+)的范围,从而得函数F(x)的值域. (Ⅲ)由f(x)=2f′(x),得:sinx+cosx=2cosx-2sinx,由此可得tanx的值. 将化为只含tanx式子,将tanx.的值代入即可. 试题解析:(I)∵f′(x)=cosx-sinx, ∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+), 最小正周期为T==π. 单调递增区间:单调递减区间: . 4分 (Ⅱ)由得 所以,所以函数F(x)的值域为[1,1+]. 8分 (Ⅲ)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx, ∴cosx=3sinx, ∴tanx=, ∴====. 13分 考点:1、三角变换;2、三角函数的单调性和范围;3、三角函数同角关系式. |