已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x的正半轴上，终边在y=-2x且x≤0，求sin（2α+2π3）的值．

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已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x的正半轴上，终边在y=-2x且x≤0，求sin（2α+2π3）的值．

题型：不详难度：来源：
已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x的正半轴上，终边在y=-2x且x≤0，求sin（2α+
2π
3
）的值．
答案
根据题意得：sinα=
2


5
，cosα=-
1


5
，
∴sin2α=2sinαcosα=-
4
5
，cos2α=cos2α-sin2α=-
3
5
，
则sin（2α+
2π
3
）=sin2αcos
2π
3
+cos2αsin
2π
3
=
2
5
-
3


3
10
．
举一反三
已知A，B，C是△ABC三内角，向量


m
=（-1，


3
），


n
=（cosA，sinA），且


m
•


n
=1．
（1）求角A；
（2）若
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求tanB．
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已知函数f(x)=2cos2
x
2
+sinx-1
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x∈(
π
2
，
3π
4
)，且f(x)=
1
5
，求sinx的值．
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已知函数f（x）=sin（ωx+
π
6
）+sin（ωx-
π
6
）-2cos2
ωx
2
，x∈R（其中ω＞0），若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点．
（1）试确定ω的值（不必证明），并求函数f（x）在（0，
4π
7
）的值域；
（2）求函数f（x）在（0，4）上的单调增区间．
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（1）证明：cos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ
（2）若0＜α＜
π
2
，-
π
2
＜β＜0，cos(
π
4
+α)=
1
3
，cos(
π
4
-
β
2
)=


3
3
，求cos(α+
β
2
)的值．
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已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，
π
3
]上单调递增，在区间[
π
3
，
2π
3
]上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足
sinB+sinC
sinA
=
4ω
3
-cosB-cosC
cosA
．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．
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