设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.(1) 证明:;(2) 求数列的通项公式;(3) 证明:对一切正整数,有.
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设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列.(1) 证明:;(2) 求数列的通项公式;(3) 证明:对一切正整数,有.
题型:不详
难度:
来源:
设各项均为正数的数列
的前
项和为
,满足
且
构成等比数列.(1) 证明:
;(2) 求数列
的通项公式;(3) 证明:对一切正整数
,有
.
答案
(1)证明见解析;(2)
;(3)证明见解析.
解析
试题分析:(1)对于
取n=1,可得到
与
的关系,即可证得;(2)当
时,有
,可得到的
与
的关系式,从而可知等差数列
的公差,又由
构成等比数列,从而可求出基本量
,即可写出其通项公式;(3)裂项:
,以下用裂项相消法,即可化简题中左式,从而证得不等式.
试题解析:(1)当
时,
,
;
(2)当
时,
,
;
,
,
当
时,
是公差
的等差数列.
构成等比数列,
,
,解得
,由(1)可知,
,
是首项
,公差
的等差数列.
数列
的通项公式为
.
(3)
与
的关系:
,等差数列的定义,等比中项,裂项相消求和法,特殊到一般思想,化归思想.
举一反三
设等差数列
的前n项和为
,若
,则
( ).
A.9
B.
C.2
D.
题型:不详
难度:
|
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