试题分析:本题考查数列的求值,等比数列的证明和研究不等式的恒成立问题.(1)通过题设条件给出的数列关系,求出数列的初始值;(2)根据等比数列的定义,分别得到证明,其中应说明第一项不为零;(3)探求是否存在唯一的正整数 使得 恒成立分两步求解,先通过数列 , 的单调性得到 ,再证明证整数 时唯一的,求解有关数列的综合问题,主要是要明确解题方向,合理利用数列的相关性质化难为易,化繁为简,同时还要注意解题步骤的规范性和严谨性. 试题解析:(1)依题意, ; (2)证明:依题意,对任意正整数 有 ,即 ,
, 又 , 数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
,又 ,
数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. (3)由(2)得 ,解得 ,显然,数列 是单调递增的数列, 是单调递减的数列,即存在正整数 ,使得对任意的 ,有 , 又令 得 ,而 , ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009095152-49354.png) ,
,解得 ,即对任意的 且 时, ,
正整数 也是唯一的. 综上所述,存在唯一的正整数 ,使得对任意的 ,有 . |