设为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项

设为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项

题型:不详难度:来源:
为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和
答案
(1)证明:当时,,解得.…………………1分
时,.即.………2分
为常数,且,∴.          ………………………3分
∴数列是首项为1,公比为的等比数列.      ……………………4分
(2)解:由(1)得,.  ………………………5分
,∴,即.………7分
是首项为,公差为1的等差数列.………………………………………8分
,即).………………………9分
(3)解:由(2)知,则
所以,                     ………………10分
,     ① ……11分
,   ②………12分
②-①得,     ……………………13分
.  ………………14分
解析
本题主要考查等比数列的性质.当出现等比数列和等差数列相乘的形式时,求和可用错位相减法.
(1)当n≥2时,根据an=Sn-Sn-1,进而得出an和an-1的关系整理得anan-1 =m( 1+m) ,因m为常数,进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列.,当n=1时等式也成立,原式得证.
(2)根据(1)可得f(m)的解析式.再根据bn=f(bn-1)整理可得(1 bn) -(1 bn-1) =1进而推知数列{bn}为等差数列,首项为2a1,公差为1,再根据等差数列的通项公式可得答案.
(3)把(2)中的bn代入{2n+1bn },再通过错位相减法求得Tn
举一反三
已知是等差数列的前项和,,,则下列结论中错误的(   )
A.B.
C.D.均为的最大值

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已知数列是首项为2,公差为1的等差数列,是首项为1,公比为2的等比数列,则数列前10项的和等于  (    )
A.511B.512C.1023D.1033

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等差数列中,则此数列的前项和 _________.
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(本题满分14分)
设数列的前项和为,已知
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为证明:
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等差数列的前项和为,如果存在正整数,使得,则(   )
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最小值为D.的最大值为

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