已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于,总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an;(II)设数列的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为
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已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项和,对于,总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an;(II)设数列的前n项和为Tn,数列{Tn}的前n项和为
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于
,总有
成等差数列.
(I )求数列{a
n
}的通项a
n
;
(II)设数列
的前n项和为T
n
,数列{T
n
}的前n项和为R
n
,求证:
时,
;
(III)对任意
,试比较
与
的大小
答案
(I)a
n
=1+(n-1)·1="n" (n∈N
*
).(2)略 (3)
解析
(I )由条件得
,递写相减得a
n+1
-a
n
=1,由等差数列求得通项;(II)求出两边表达式证明相等;(III)数学归纳法或不等式证明。
解:(I)由题意,得
(n∈N*).
于是
,
两式相减,得
,
即a
n+1
+a
n
=(a
n+1
+a
n
)(a
n+1
-a
n
),
由题,a
n
>0,a
n+1
+a
n
≠0,
得a
n+1
-a
n
=1,即{a
n
}为公差为1的等差数列.
又由
,得a
1
=1或a
1
=0(舍去).
∴ a
n
=1+(n-1)·1="n" (n∈N
*
).……………………………………………5分
(II)证法一:由(I)知
,于是
,
于是当n≥2时,
=
=
=
=
=n(T
n
-1). ……………………………10分
法二:①当n=2时,R
1
=T
1
=
=1,2(T
2
-1)=2(
=1,
∴ n=2时,等式成立.
②假设n=k(k≥2)时,等式成立,即
,
当n=k+1时,
=
=
=
=
=
=
.
∴ 当n=k+1时,等式也成立.
综合①②知,原等式对n≥2,n∈N*均成立. …………………………10分
(III)由(I)知,
.
由分析法易知,
,
当k≥2时,
,∴
.即
.
举一反三
在等差数列
中,若
,则
的值为(A)
A、9 B、12 C、16 D、17
题型:不详
难度:
|
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有四个数:前三个成等差数列,后三个成等比数列。首末两数和为16,中间两数和为12。求这四个数。
题型:不详
难度:
|
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已知数列
的首项
,前
项和
.(Ⅰ)求数列
的通项公式;(Ⅱ)设
,
,
为数列
的前
项和,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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已知
=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)设
,求
及数列{
}的通项公式;
(2)记
,求数列{
}的前n项和
,并求
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列
中,已知
,
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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