已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn,当n≥2时,满足an-2n=Sn-1,又bn=an2n,(I)证明:数列{bn}是等差数列;(II)求数列{S
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已知数列{an}的首项a1=2,其前n项和为Sn,当n≥2时,满足an-2n=Sn-1,又bn=an2n,(I)证明:数列{bn}是等差数列;(II)求数列{S
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的首项a
1
=2,其前n项和为S
n
,当n≥2时,满足a
n
-2
n
=S
n-1
,又b
n
=
a
n
2
n
,
(I)证明:数列{b
n
}是等差数列;
(II)求数列{S
n
}的前n项和T
n
.
答案
(I)由题意知得,a
1
=2,a
2
-2
2
=S
1
=a
1
=2,∴a
2
=6.
n≥2时,a
n
-2
n
=S
n-1
,a
n+1
-2
n+1
=S
n
,
两式相减得 a
n+1
-a
n
-2
n
=a
n
即 a
n+1
=2a
n
+2
n
(n≥2)
于是
a
n+1
2
n+1
=
a
n
2
n
+
1
2
即 b
n+1
-b
n
=
1
2
n≥2
又b
1
=
a
1
2
=1,
b
2
=
a
2
2
2
=
3
2
,b
2
-b
1
=
1
2
,
所以数列{b
n
}是首项为1,公差为0.5的等差数列.
(II)由(I)知,
b
n
=1+(n-1)×
1
2
=
n+1
2
,
a
n
=b
n
2
n
=(n+1)2
n-1
,
又n≥2时a
n
-2
n
=S
n-1
,S
n-1
=(n-1)2
n-1
,
∴S
n
=n•2
n
∴T
n
=1×2
1
+2×2
2
+3×2
3
+…+n×2
n
,…①
2T
n
=1×2
2
+2×2
3
+3×2
4
+…+n×2
n+1
…②
②-①可得
T
n
=2
n+1
-2-n×2
n
=(n-1)2
n+1
+2.
举一反三
已知等比数列{a
n
}的前n项和S
n
=2
n
-a,n∈N
*
.设公差不为零的等差数列{b
n
}满足:b
1
=a
1
+2,且b
2
+5,b
4
+5,b
8
+5成等比.
(Ⅰ) 求a及b
n
;
(Ⅱ) 设数列{
lo
g
2
a
n
}的前n项和为T
n
.求使T
n
>b
n
的最小正整数n的值.
题型:浙江模拟
难度:
|
查看答案
数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
n
+a
n
=-n(n∈N
*
)恒成立.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)b
n
=ln(a
n
+1),求{a
n
b
n
}的前n项和;
(3)求证:
1
2
a
1
a
2
+
1
2
2
a
2
a
3
+…+
1
2
n
a
n
a
n+1
<2
.
题型:香洲区模拟
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=2a
n
-2(n∈N
*
),数列{b
n
}满足b
1
=1,且点P(b
n
,b
n+1
)(n∈N
*
)在直线y=x+2上.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a
n
•b
n
}的前n项和D
n
;
(Ⅲ)设c
n
=a
n
•sin
2
nπ
2
-
b
n
•co
s
2
nπ
2
(n∈
N
*
)
,求数列{c
n
}的前2n项和T
2n
.
题型:天津模拟
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的公差不为零,且a
3
=5,a
1
,a
2
.a
5
成等比数列
(I)求数列{a
n
}的通项公式:
(II)若数列{b
n
}满足b
1
+2b
2
+4b
3
+…+2n
-1
b
n
=a
n
且数列{b
n
}的前n项和T
n
试比较T
n
与
3n-1
n+1
的大小.
题型:嘉兴一模
难度:
|
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设S
n
是各项均为非零实数的数列{a
n
}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{a
n
}是等差数列;命题q:等式
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+…+
1
a
n
a
n+1
=
kn+b
a
1
a
n+1
对任意n(n∈N
*
)恒成立,其中k,b是常数.
(1)若p是q的充分条件,求k,b的值;
(2)对于(1)中的k与b,问p是否为q的必要条件,请说明理由;
(3)若p为真命题,对于给定的正整数n(n>1)和正数M,数列{a
n
}满足条件
a
21
+
a
2n+1
≤M
,试求S
n
的最大值.
题型:盐城二模
难度:
|
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