等比数列{an}为递增数列,且a4=23,a3+a5=209,数列bn=log3an2(n∈N*)(1)求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值;(2)若Tn=b
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等比数列{an}为递增数列,且a4=23,a3+a5=209,数列bn=log3an2(n∈N*)(1)求数列{bn}的前n项和Sn及其最小值;(2)若Tn=b
题型:不详
难度:
来源:
等比数列{a
n
}为递增数列,且
a
4
=
2
3
,
a
3
+
a
5
=
20
9
,数列
b
n
=lo
g
3
a
n
2
(n∈N
*
)
(1)求数列{b
n
}的前n项和S
n
及其最小值;
(2)若T
n
=b
1
+b
2
+
b
2
2
+…+
b
2
n-1
,求T
n
的最小值.
答案
(1)设等比数列的首项a
1
,公比为q
则由已知可得,
a
3
(1+
q
2
)=
20
9
,
a
3
q=
2
3
两式相除可得,
1+
q
2
q
=
10
3
即3q
2
-10q+3=0
∴q=
1
3
或q=3
∵数列{a
n
}为递增数列且
a
4
=
2
3
∴q=3
∴
a
n
=
a
4
•
q
n-4
=
2
3
×
3
n-4
=2•3
n-5
∴
b
n
=lo
g
3
a
n
2
=n-5
∴
s
n
=
-4+n-5
2
•n
=
n(n-9)
2
由b
n
≤0可得n≤5
(S
n
)
min
=s
4
=s
5
=
-4×5
2
=-10
(2)∵
b
2
n-1
=2
n-1
-5
∴T
n
=b
1
+b
2
+
b
2
2
+…+
b
2
n-1
=2
0
+2
1
+2
2
+…+2
n-1
-5n
=
1-
2
n
1-2
-5n
=2
n
-5n-1
∴
T
n-1
=
2
n-1
-5(n-1)-1
=T
n
-T
n-1
=2
n-1
-5>0
∴n≥4
即有T
1
>T
2
>T
3
<T
4
<T
5
<…
∴(T
n
)
min
=T
3
=2
3
-5×3-1=-8
举一反三
数列{a
n
}的通项公式是a
n
=
1
n(n+1)
(n∈N*),若前n项的和为
10
11
,则项数为______.
题型:不详
难度:
|
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若数列{a
n
}的项构成的新数列{a
n+1
-Ka
n
}是公比为l的等比数列,则相应的数列{a
n+1
-1a
n
}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此法为双等比数列法.已知数列{a
n
}中,
a
1
=
3
5
,
a
2
=
31
100
,且
a
n+1
=
1
10
a
n
+
1
2
n+1
.
(1)试利用双等比数列法求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2
n
+n-1,则其前8项和S
8
等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的首项a
1
=
3
5
,
a
n+1
=
3a
n
2a
n
+1
,其中n∈N
+
.
(Ⅰ)求证:数列{
1
a
n
-1
}为等比数列;
(Ⅱ)记S
n
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
,若S
n
<100,求最大的正整数n.
题型:不详
难度:
|
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某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下,可卖出b千克.若做广告宣传,广告费为n千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出
b
2
n
千克,(n∈N
*
).记广告费为n千元时,卖出产品数量为S
n
千克.
(1)求S
1
,S
2
;
(2)求S
n
;
(3)当a=50,b=200时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大?
题型:不详
难度:
|
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