若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长，则1a+4b的最小值为______．

题型：衡阳模拟难度：来源：

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则

1

a

+

4

b

的最小值为______．

答案

整理圆的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=（4a+b）（

1

a

+

4

b

）=8+

16a

b

+

b

a

≥8+2

16a b • b a

=16（当且仅当

16a

b

=

b

a

时等号成立．）
故答案为：16