设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(Ⅰ)求f(1),
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设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(Ⅰ)求f(1),
题型:湖南省模拟题
难度:
来源:
设不等式
所表示的平面区域为D
n
,记D
n
内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)
(Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式;
(Ⅱ)记
,若对于任意n∈N*,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设S
n
为数列{b
n
}的前n项和,其中
,问是否存在正整数n,t,使
成立,若存在,求出正整数n,t;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)f(1)=3,f(2)=6,
由x>0,0<y≤-nx+3,得0<x<3,
又x∈N*,x=1或x=2,
当x=1,0<y≤2n时,共有2n个格点;
当x=2,0<y≤n时,共有n个格点,
故f(n)=n+2n=3n。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,
则
,
当
时,
,
又
,
所以,
,故
。
(Ⅲ)假设存在满足题意的n和t,
由(Ⅰ)知
,故
,
则
,
变形,得
,
即
,
∴
,
由于n,t均为正整数,所以n=t=1。
举一反三
设变量x,y满足约束条件
,则z=x-3y+1的最小值为
[ ]
A.-l
B.-3
C.-5
D.-7
题型:天津模拟题
难度:
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已知x,y满足不等式组
,则x+2y的最大值是( )。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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在平面直角坐标系中,若不等式组
(a为常数) 所表示的平面区域的面积被y轴分成1:2两部分,则a的值为( )。
题型:安徽省模拟题
难度:
|
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当x,y满足条件
(k为常数)时,能使z=x+3y的最大值为12的k的值是( )。
题型:陕西省模拟题
难度:
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若x,y满足
,则
的最大值为( )。
题型:福建省模拟题
难度:
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