解:(1)由P(2,c)为公共切点, f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx(a>0), 得f′(x)=2ax,k1=4a, g′(x)=3x2+b,k2=12+b. 又f(2)=4a+1,g(2)=8+2b, 所以,解得a=,b=5. (2)①h(x)=f(x)+g(x) =x3+ax2+bx+1, 则h′(x)=3x2+2ax+b. 因为函数f(x)+g(x)的单调减区间为, 所以x∈时,有3x2+2ax+b≤0恒成立. 此时x=-是方程3x2+2ax+b=0的一个根, 所以32+2a+b=0, 得a2=4b, 所以h(x)=f(x)+g(x) =x3+ax2+a2x+1. 又函数h(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 若-1≤-,即a≤2时, 最大值为h(-1)=a-; 若-<-1<-时,即2<a<6时, 最大值为h=1; 若-1≥-时,即a≥6时, 最大值为h=1, 综上所述,M(a)= ②由①可知h(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. 所以h为极大值,h=1, h为极小值,h=-+1, 因为|h(x)|≤3在x∈[-2,0]上恒成立, 又h(0)=1,所以 即 解得 故实数a的取值范围是. |