试题分析:f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2] (1)当a=0时,f(x)=(x2+2)ex,f′(x)=ex(x2+2x+2),f(1)=3e, f′(1)=5e, ∴函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0. (2)f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+2], 考虑到ex>0恒成立且x2系数为正. ∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立. ∴(a+2)2-4(a+2)≤0. 解得-2≤a≤2,即a的取值范围是[-2,2], (3)当时,f(x)=, f′(x)= 令f′(x)=0,得或x=1. 令f′(x)>0,得或x>1. 令f′(x)<0,得 x,f′(x),f(x)的变化情况如下表
所以,函数f(x)的极小值为 点评:注意极值与最值的区别和联系:最大值是极值与边界值中最大的函数值,最小值是极值与边界值中最小的函数值 |