（本小题满分12分）已知函数（I）当a=1时，求的最小值；（II）求证：在区间（0，1）单调递减。

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知函数
（I）当a=1时，求的最小值；
（II）求证：在区间（0，1）单调递减。

答案

解：
（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝－lnx＋x－1，f¢(x)＝－＋1＝．………………2分
当x∈(0，1)时，f¢(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f¢(x)＞0，f(x)单调递增．
f(x)的最小值为f(1)＝0．…………………………………………………………4分
（Ⅱ）f¢(x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，………6分
若a≥1，当x∈(0，1)时，f¢(x)＜0，f(x)在区间(0，1)单调递减．
若≤a＜1，由（Ⅰ）知，当x∈(0，1)时，－ln＋－1＞0，即lnx＞，
则f¢(x)＝(a－1)lnx＋＜＋＝≤0，
f(x)在区间(0，1)单调递减．
综上，当a≥时，f(x)在区间(0，1)单调递减．………………………………12分
方法2：f¢(x)＝(a－1)lnx＋＋1＝(a－1)lnx＋，……………6分
因为[f¢(x)]¢＝＋＝a(＋)－≥(＋)－＝＞0，
所以f¢(x)单调递增，f¢(x)＜f¢(1)＝0，f(x)在区间(0，1)单调递减．……………12分

解析

略