解:(Ⅰ)∵, ∴当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减; 当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增; ∴f(x)的极小值为f(1)=1; (Ⅱ) f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1, ∴f(x)>0,, 令, 当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增, ∴, ∴在(Ⅰ)的条件下,; (Ⅲ)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3, , ①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减, (舍去), 所以,此时f(x)无最小值; ②当时,f(x)在上单调递减,在上单调递增, ,满足条件; ③当时,f(x)在(0,e]上单调递减, (舍去), 所以,此时f(x)无最小值; 综上,存在实数,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3。 |