设a∈R，函数f（x）=-（x-1）2+2（a-1）ln（x+1），(1)若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x-1，求a的值；(2)当a＜1

题型：0101 期中题难度：来源：

设a∈R，函数f（x）=-（x-1）²+2（a-1）ln（x+1），
(1)若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x-1，求a的值；
(2)当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性。

答案

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
，
因为f′（0）=4，所以a=2；
（Ⅱ）当a＜0时，因为，
所以f′（x）＜0，故f（x）在（-1，+∞）上是减函数；
当a=0时，当x∈（-1，0）时，，故f（x）在（-1，0）上是减函数，
当x∈（0，+∞）时，，故f（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为函数f（x）在（-1，+∞）上连续，
所以f（x）在（-1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，由，得x=或x=，
x变化时，f′（x），f（x）的变化如情况下表：

所以f（x）在上为减函数、在上为减函数；f（x）在上为增函数；
综上，当a≤0时，f（x）在（-1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在上为减函数、在上为减函数；f（x）在上为增函数。