已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在[-3，1
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值． |
答案
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴，解得，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f"（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f"（x）=0，得x=或x=-2．
当x变化时，f（x），f"（x）的变化如下表：
| x | -3 | （-3，-2） | -2 | (-2，) | | (，1) | 1 | | f"（x） | | + | | - | | + | | | f（x） | 8 | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 | 4 |
举一反三
| 已知点P是曲线y=x3-10x+3上位于第二象限内的一点，且该曲线在点P处的切线斜率为2，则这条切线方程为______． | | 曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是______． | | 已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求f（2）的值． | 已知实数a满足1＜a≤2，设函数f （x）=x3-x2+ax．
（Ⅰ） 当a=2时，求f （x）的极小值；
（Ⅱ） 若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x （b∈R） 的极小值点与f （x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10． | 已知函数f(x)=x2-与函数g（x）=alnx在点（1，0）处有公共的切线，设F（x）=f（x）-mg（x）（m≠0）．
（1）求a的值
（2）求F（x）在区间[1，e]上的最小值． |
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