已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m。(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y
题型:福建省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m。 (1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); (2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。 |
答案
解:(1)(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16 当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7; 当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16; 当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t 综上,。 (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, 即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m ∴φ′(x)= 当x∈(0,1)时,φ"(x)>0,φ(x)是增函数; 当x∈(0,3)时,φ"(x)<0,φ(x)是减函数; 当x∈(3,+∞)时,φ"(x)>0,φ(x)是增函数; 当x=1,或x=3时,φ"(x)=0 ∴φ(x)最大值=φ(1)=m-7,φ(x)最小值=φ(3)=m+6ln3-15 ∵当x充分接近0时,φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0 ∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 即7<m<15-6ln3 ∴存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, m的取值范围为(7,15-6ln3)。 |
举一反三
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围。 |
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有 |
[ ] |
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) |
已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=( )。 |
函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 |
[ ] |
A、-2 B、0 C、2 D、4 |
如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S。 |
|
(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值。 |
最新试题
热门考点