设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围。
题型:高考真题难度:来源:
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围。 |
答案
解:令 , 对函数g(x)求导数: , 令g′(x)=0解得 , (i)当 时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又g(0)=0, 所以对x≥0,有 , 即当 时,对于所有x≥0,都有 ; (ii)当a>1时,对于 ,所以g(x)在 是减函数, 又g(0)=0,所以对 有 ,即 , 所以,当a>1时,不是对所有的x≥0都有 成立; 综上,a的取值范围是 。 |
举一反三
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有 |
[ ] |
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) |
已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=( )。 |
函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 |
[ ] |
A、-2 B、0 C、2 D、4 |
如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S。 |
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019075758-96029.gif) |
(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值。 |
若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”。已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数),根据你的数学知识,推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为( )。 |
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