已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3, (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(
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已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3, (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(
题型:0128 模拟题
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来源:
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x
2
+ax-3,
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx>
成立。
答案
解:(1)由已知知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
当
单调递减,当
单调递增,
①
,没有最小值;
②
,即
时,
;
③
,即
时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,
;
所以
;
(2)
,则
,
设
,则
,
①
单调递减,
②
单调递增,
所以
,对一切
恒成立,
所以
;
(3)问题等价于证明
,
由(1)可知
的最小值是
,当且仅当
时取到,
设
,则
,
易知
,当且仅当x=1时取到,
从而对一切x∈(0,+∞),都有
成立。
举一反三
设函数f(x)=x
2
-alnx与g(x)=x-a
的图像分别交直线x=1于点A,B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行。
(1)求函数f(x),g(x)的表达式;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的最小值;
(3)若不等式f(x)≥m·g(x)在x∈(0,4)上恒成立,求实数m的取值范围。
题型:0127 模拟题
难度:
|
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已知定义在(
,3)上的两个函数
,y=f(x)的图象在点A(
,f(
))处的切线的斜率为
,
(1)求f(x)的解析式;
(2)试求实数k的最大值,使得对任意x∈(
,3),不等式f(x)≥kg(x)恒成立;
(3)若x
1
,x
2
,x
3
∈(
,3)且3x
1
x
2
x
3
=2(x
1
x
2
+x
2
x
3
+x
3
x
1
),求证:
。
题型:江西省模拟题
难度:
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已知函数f(x)=-x
3
+ax
2
-4,a∈R,
(1)当a=3时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值;
(2)若存在x
0
∈(0,+∞),使得f(x
0
)>0,求a的取值范围。
题型:模拟题
难度:
|
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f(x)=2x
3
-6x
2
+a在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上f(x)的最小值是
[ ]
A.-5
B.-11
C.-29
D.-37
题型:0108 模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=ln(2+3x)-
x
2
,
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(2)若对
x∈
,不等式|a-lnx|+ln[f′(x)+3x]>0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.
题型:0107 模拟题
难度:
|
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