n支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛
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n支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛,求n的最大值. 注:A、B两队在A方场地举行的比赛,称为A的主场比赛,B的客场比赛. |
答案
如图所示:表格中有“*”, 表示该球队在该周有主场比赛,不能出访. 容易验证,按照表中的安排,6支球队四周可以完成该项比赛. 下面证明7支球队不能在四周 完成该项比赛.设Si(i=1,2,3,4,5,6,7)表示 i号球队的主场比赛周次的集合.假设4周内 能完成该项比赛,则Si是{1,2,3,4}的非空真子集. 一方面由于某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛,所以Si(i=1,2,3,4,5,6,7)中,没有一个集是另一个的子集. 另一方面,设A=1,1,2,1,2,3, B=2,2,3,2,3,4, C=3,1,3,1,3,4 D=4,1,4,1,2,4, E=2,4, F=3,4由抽屉原理,一定存在i,j,i≠j,i,j∈{1,2,3,4,5}, Si,Sj属于同一集合A或B或C或D或E或F,必有Si?Sj或Sj?Si发生. ∴n的最大值是6. |
举一反三
在100,101,102,…,999这些数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是 ______个.把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列,则321是第 ______个数(用数字作答). |
4名男生2名女生站成一排,要求两名女生分别站在两端,则不同排法的种数为( )A.48 | B.96 | C.144 | D.288 | 用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有( )A.27 | B.28 | C.29 | D.30 | 3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教,每校3位,且每所学校既有数学教师,也有语文教师,则不同的分配方案共有______种. | A、B、C、D、E,5人站成一排,A,B不相邻的排法有______种(用数字作答). |
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