（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小是，求的长．

答案

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，
∴平面．
又∵平面，∴ ．
∵，，是中点，
∴．
又∵∩，∴平面．
（Ⅱ）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,．
设，平面的法向量，
则,．
且，．
于是
所以取，则
∵三棱柱是直棱柱，
∴平面．又∵平面，
∴ ．∵，
∴．∵∩，
∴平面．
∴是平面的法向量，．
∵二面角的大小是，
∴．
解得．∴．