(1)证明:在菱形ABCD中,∵BD⊥AC,∴BD⊥AO. ∵EF⊥AC,∴PO⊥EF, ∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO⊂平面PEF,∴PO⊥平面ABFED, ∵BD⊂平面ABFED,∴PO⊥BD. ∵AO∩PO=O,所以BD⊥平面POA. (2)连接OB,设AO∩BD=H.由(1)知,AC⊥BD. ∵∠DAB=60°,BC=4,∴BH=2,CH=2. 设OH=x(0<x<2). 由(1)知,PO⊥平面ABFED,∴PO⊥OB,即△POB为直角三角形. ∴PB2=OB2+PO2=(BH2+OH2)+PO2, ∴PB2=4+x2+(2-x)2=2x2-4 x+16=2(x-)2+10. 当x=时,PB取得最小值,此时O为CH的中点. ∴S△CEF= S△BCD, ∴S梯形BFED=S△BCD=S△ABD, ∴V1= S△ABD·PO,V2= S梯形BFED·PO. ∴=. ∴当PB取得最小值时,V1∶V2的值为4∶3. |