解:(1)证明:∵AB=1,BC=AD=2,∠ADC=60°, ∴AC2=1+4-2×1×2×cos60°=3 ∴ , 又∵AB=1,BC=2 ∴ , ∴AC⊥AB 又AF⊥AC,AB∩AF=A ∴AC⊥平面ABF, 又∵BF 平面ABF, ∴AC⊥BF。 (2)∵AB=1,AD=2,∠BAD=120°, ∴BD2=1+4-2×1×2×cos120°=7 ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021162046-59192.png) ∵AF=1,AB=1,AF⊥AB ∴△ABF是直角三角形,且BF=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021162046-50221.png) ∵AF=1,AD=2,AF⊥AD ∴DF= , ∵ ,BF= ,DF= , ∴∠BFD=90° 设点A在平面BFD内的射影为O,过A作AG⊥DF于G,连接GO, 则∠AGO为二面角A-FD-B的平面角 即∠AGO=θ, 在△ADF中,由等面积法求得 , 由等体积法,VA-BDF=VF-ABD ∴ ×sin120° ∴点A到平面BFD的距离是 , 所以 , 即 ; (3)解:设AC与BD相交于O,则OF∥CM, 所以CM⊥平面BFD 当点P在M或C时,三棱锥P-BFD的体积最小,
。 |