如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点。(1)求证: EF∥平面PBC; (2)求E到平面PBC的距离。

如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点。(1)求证: EF∥平面PBC; (2)求E到平面PBC的距离。

题型:山西省期末题难度:来源:
如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥面ABCD,E,F是PA和AB的中点。
(1)求证: EF∥平面PBC;
(2)求E到平面PBC的距离。
答案
(1)证明:∵AE=PE,AF=BF,
∴EF∥PB,
又PB平面PBC,EF平面PBC,
∴EF∥平面PBC。
(2)解:在面ABCD内作过F作FH⊥BC于H,
∵PC⊥面ABCD,PC面PBC,
∴面PBC⊥面ABCD,
又面PBC∩面ABCD=BC,FH⊥BC,FH面ABCD,
∴FH⊥面ABCD,
又EF∥面PBC,故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH。 
在直角三角形FBH中,, 

故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离,等于
举一反三
若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,给出下面四个命题:①α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;②α⊥γ,β∥γ,则α⊥β;③l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,则l平行于α内的所有直线;其中正确命题的序号是(    )。(把你认为正确命题的序号都填上)
题型:新疆自治区期末题难度:| 查看答案
直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是[     ]
A、若aα,bα,c⊥a, c⊥b,则c⊥α
B、若bα,a∥b,则 a∥α
C、若a∥α,α∩β=b,则a∥b
D、若a⊥α,b⊥α,则a∥b
题型:山东省期末题难度:| 查看答案
如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的[     ]
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交
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若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是[     ]
A.平行
B.相交
C.异面
D.A、B、C均有可能
题型:同步题难度:| 查看答案
下列命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;
④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线;
其中真命题的个数为[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4
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