如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，

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如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

答案

解：（1）连BD，四边形ABCD菱形
∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为 AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为 AD中点，AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q
∴AD⊥平面PQB，AD

平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2）当t=

时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=

a，AC=

a．
∴PA∥平面MQB，PA

平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN

即：PM=

PC，t=

．

举一反三

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

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已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：
①α∥βl⊥m
②α⊥βl∥m；
③l∥mα⊥β；
④l⊥m∥β．
其中正确的命题有几个．　

[ ]
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

题型：新疆维吾尔自治区期末题难度：| 查看答案

已知△ABC是正三角形，GC是△ABC的中线，EA、FB、CD都垂直于平面ABC．EA=3a，AB=CD=2a，FB=a，设平面EDF与平面ABC的交线为l．
（1）证明GC∥l；
（2）证明平面EABF与平面EDF垂直；
（3）求多面体ABCDEF的体积．

题型：安徽省期末题难度：| 查看答案

已知直线l⊥平面

，直线m

平面

，则下列四个命题：
①

∥

l⊥m；
②

⊥

l∥m；
③l∥m

⊥

；
④l⊥m

∥

其中正确命题的序号是（）．

题型：江苏省期末题难度：| 查看答案

已知：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

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