如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。(1)求点P到平

如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。(1)求点P到平

题型:高考真题难度:来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
答案
解:(1)作PO⊥平面ABCD,垂足为点O
连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PE
∵AD⊥PB,
∴AD⊥OB,
∵PA=PD,
∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=
即点P到平面ABCD的距离为(2)如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,
则AG⊥PB,FG//BC,FG=BC
∵AD⊥PB,
∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角
∵AD⊥面POB,
∴AD⊥EG
又∵PE=BE,
∴EG⊥PB,且∠PEG=60°
在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=
在Rt△PEG中,EG=AD=1
于是tan∠GAE=
又∠AGF=π-∠GAE
所以所求二面角的大小为π-arctan
举一反三
已知球的表面积为20π,球面上有A、B、C三点,如果AB=AC=2,BC=,则球心到平面ABC的距离为

[     ]

A.1
B.
C.
D.2
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知边长为1的等边△ABC,在线段AC上任取一点P(不与端点重合),将△ABP沿PB折起,使得平面BPC⊥平面ABP,则当三棱锥A-PBC的体积最大时,点A到面PBC的距离是(    )。
题型:专项题难度:| 查看答案
点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内一点,且满足,则点P到棱AB的距离为 [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为

[     ]

A.
B.
C.
D.
题型:0110 高考真题难度:| 查看答案
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d,则下列命题中正确的是

[     ]

A.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为(0,1)
B.若侧棱的长小于底面的边长,则的取值范围为
C.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
D.若侧棱的长大于底面的边长,则的取值范围为
题型:重庆市高考真题难度:| 查看答案
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