如图所示,P是抛物线C:y=12x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的
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如图所示,P是抛物线C:y=12x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,P是抛物线C:y=
1
2
x
2
上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.
答案
设P(x
0
,y
0
),则y
0
=
1
2
x
0
2
,
∴过点P的切线斜率k=x
0
,
当x
0
=0时不合题意,∴x
0
≠0.
∴直线l的斜率k
l
=-
1
k
=-
1
x
0
,
∴直线l的方程为y-
1
2
x
0
2
=-
1
x
0
(x-
x
0
)
.
此式与y=
1
2
x
2
联立消去y得
x
2
+
2
x
0
x-
1
2
x
0
2
-2=0
设Q(x
1
,y
1
),M(x,y).
∵M是PQ的中点,
∴
x=
x
0
+
x
1
2
=-
1
x
0
y=-
1
x
0
(-
1
x
0
-
x
0
)+
1
2
x
0
2
=
1
x
20
+
x
20
2
+1
消去x
0
,得y=x
2
+
1
2
x
2
+1(x≠0)就是所求的轨迹方程.
由x≠0知x
2
>0,
∴y=x
2
+
1
2
x
2
+1≥2
x
2
•
1
2
x
2
+1=
2
+1
上式等号仅当x
2
=
1
2
x
2
,即x=±
4
1
2
时成立,
所以点M到x轴的最短距离是
2
+1.
举一反三
直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于A,B两点,若直线AB的中点是M(1,-1),则直线l的斜率为______.
题型:不详
难度:
|
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直线
3
x+y-1=0的倾斜角是( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
题型:不详
难度:
|
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若直线y=0的倾斜角为α,则α的值是( )
A.0
B.
π
4
C.
π
2
D.不存在
题型:不详
难度:
|
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若A(-3,3),B(3,9),C(1,m)三点共线则m的值为______.
题型:不详
难度:
|
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在直角坐标系中,直线x+
3
y-3=0的倾斜角是( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
5π
6
D.
2π
3
题型:不详
难度:
|
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