已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R)(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交;(2)求
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已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4.(m∈R) (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交; (2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程. |
答案
解:(1)直线方程l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4, 可以改写为m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0, 所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点. 由方程组解得 即两直线的交点为A(3,1), 又因为点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离, 所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交. (2)连接AC,当直线l是AC的垂线时,此时的直线l与圆C相交于B、D. BD为直线l被圆所截得的最短弦长. 此时,, 所以.即最短弦长为. 又直线AC的斜率, 所以直线BD的斜率为2. 此时直线方程为:y﹣1=2(x﹣3),即2x﹣y﹣5=0. |
举一反三
选做题 已知直线l经过点P(1,1),倾斜角, (1)写出直线l的参数方程; (2)设l与圆x2+y2=4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积. |
若直线2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦长为4,则的最小值为 |
[ ] |
A. B. C.2 D.4 |
给出下列四个命题: ①若函数f(x)=a(x3-x)在区间()为减函数,则a>0; ②函数f(x)=lg(ax+1)的定义域是{x|x>}; ③当; ④若M是圆(x﹣5)2+(y+2)2=34上的任意一点,则点M关于直线y=ax﹣5a﹣2的对称点M"也在该圆上. 所有正确命题的序号是( ) |
直线ax﹣2y﹣2a+4=0被圆x2+y2﹣2x﹣8=0所截得弦长范围是( ). |
直线3x﹣4y+3=0与圆x2+y2=1相交所截的弦长为( ). |
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