(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.

(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.

题型:不详难度:来源:
(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.
答案
解法一:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+33),
x2+y2+z2
1
14

当且仅当
x
1
=
y
2
=
z
3
,x+2y+3z=1,即x=
1
14
y=
1
7
z=
3
14
时取等号.
即x2+y2+z2的最小值为
1
14

解法二:设向量


a
=(1,2,3)


b
=(x,y,z)

|


a
?


b
|≤|


a
| |


b
|
,∴1=x+2y+3z≤


12+22+32


x2+y2+z2

x2+y2+z2
1
14
,当且仅当


a


b
共线时取等号,即
x
1
=
y
2
=
z
3
,x+2y+3z=1,解得x=
1
14
y=
1
7
z=
3
14
时取等号.
故答案为
1
14
举一反三
如图表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为(  )
魔方格
A.1个B.2个C.3个D.4个
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已知点P的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P.
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如图所示,正方体的棱长为1,点A是其一棱的中点,则点A在空间直角坐标系中的坐标是(  )
A.(
1
2
1
2
,1)
B.(1,1,
1
2
C.(
1
2
,1,
1
2
D.(1,
1
2
,1)
魔方格
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在空间坐标中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于(  )
A.


14
B.


13
C.2


3
D.


11
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在空间直角坐标系中,点P(1,


2


3
)
,过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为(  )
A.(0,


2
,0)
B.(0,


2


3
)
C.(1,0,


3
)
D.(1,


2
,0)
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