已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(32，4)，点B(10，25)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M：x2+（y-5）2=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点

题型：不详难度：来源：

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3

2

，4)，点B(

10

，2

5

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

答案

（1）依题意，可设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，…（1分）
从而

18m+16n=1 10m+20n=1

，解得

n= 1 25 m= 1 50

…（3分）
故椭圆C的方程为

x2

50

+

y2

25

=1…（4分）
（2）椭圆C：

x2

50

+

y2

25

=1的两焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），…（5分）
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点，
∴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．…（6分）
设双曲线G的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），则G的渐近线方程为y=±

b

a

x，…（7分）
即bx±ay=0，且a²+b²=25，
圆M：x²+（y-5）²=9的圆心为（0，5），半径为r=3．
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴

|5a|

a2+b2

=3
∴a=3，b=4．…（9分）
∴双曲线G的方程为

x2

9

-

y2

16

=1．…（10分）