已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．（1）求a与b；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线 l

题型：新疆自治区月考题难度：来源：

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短轴长为半径的圆与y=x+2相切．
（1）求a与b；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F₁和F₂，直线 l 过F₂且与x轴垂直，动直线 l₂ 与 y 轴垂直，l₂交 l₁ 于点 P．求PF₁线段垂直平分线与l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

答案

解：（1）e=，∴=，
又b==，∴a=，b=．
（2）由（1）知F₁，F₂分别为（﹣1，0），（1，0），
由题意可设P（1，t），（t≠0）
那么线段PF₁中点为N（0，），
设M（x，y）是所求轨迹上的任意点，
由=（﹣x，﹣y），=（﹣2，﹣t）
则，
消t得y²=﹣4x（x≠0）其轨迹为抛物线除原点的部分．