已知双曲线C：，P为C上的任意点。（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值。

题型：上海高考真题难度：来源：

已知双曲线C：，P为C上的任意点。
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值。

答案

解：（1）设是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0，
点到两条渐近线的距离分别是，
它们的乘积是，
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数。
（2）设P的坐标为（x，y），
则
，
∵，
∴当时，的最小值为，即|PA|的最小值为。