正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
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正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
题型:不详
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来源:
正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y
2
=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
答案
|AB|=2y
1
=4
p.
解析
如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x
1
,y
1
)和(x
2
,y
2
),则y
1
2
=2px
1
,y
2
2
=2px
2
,又|OA|=|OB|,
∴x
1
2
+y
1
2
=x
2
2
+y
2
2
,即x
1
2
-x
2
2
+2px
1
-2px
2
=0.
∴(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
+2p)=0.∵x
1
>1,x
2
>0,2p>0,∴x
1
=x
2
.由此可得|y
1
|=|y
2
|,即线段AB关于x轴对称.
由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴
=tan30°=
.
而y
1
2
=2px
1
,∴y
1
=2
p.于是|AB|=2y
1
=4
p.
举一反三
边长为1的正△AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A、B的抛物线方程为( )
A.y
2
=
x B.y
2
=-
x C.y
2
=±
x D.y
2
=±
x
题型:不详
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给定抛物线
C
:
F
是
C
的焦点,过点
F
的直线
与
C
相交于
A
、
B
两点.
(Ⅰ)设
的斜率为1,求
夹角的大小;
(Ⅱ)设
,求
在
轴上截距的变化范围.
题型:不详
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抛物线
的焦点到准线的距离是( )
A.1
B.2
C.4
D.8
题型:不详
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直线l与抛物线
交于A,B两点;线段AB中点为
,则直线l的方程为
A.
B.
、
C.
D.
题型:不详
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.抛物线
上一点M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为5,双曲线
的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数
等于
.
题型:不详
难度:
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