过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于P、Q两点,求线段PQ中点的轨迹方程.
题型:不详难度:来源:
过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于P、Q两点,求线段PQ中点的轨迹方程. |
答案
∵y2=4x的焦点坐标为F(1,0) ∴当直线PQ的斜率k存在时,可设其方程的y=k(x-1),且k≠0 又设P(x1,y1),Q(x2,y2),中点M的坐标为(x0,y0),则有: 而由题意,得
| ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) | ∴= |
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∴k=…(4分) ∵点M(x0,y0)在直线PQ上
即得线段PQ中点的轨迹方程为y2=2(x-1)…(5分) 而当直线PQ的斜率不存在时,有PQ⊥x轴,此时PQ的中点M,即为焦点F(1,0),满足y2=2(x-1) 综上,线段PQ中点的轨迹方程为y2=2(x-1)…(6分) |
举一反三
点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是( )A. | B. | C.2 | D. | 已知抛物线y=x2,则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为______. | 过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程为______. | 抛物线y=-x2的准线方程为( )A.x= | B.y= | C.x= | D.y= | 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( ) |
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