已知中心在原点的椭圆C: 的一个焦点为为椭圆C上一点，△MOF2的面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得l与椭圆C相交于A、B两点

题型：不详难度：来源：

已知中心在原点的椭圆C: 的一个焦点为为椭圆C上一点，△MOF₂的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

答案

（1），（2）

解析

试题分析：（1）求椭圆标准方程一般方法为待定系数法，因为C=3，则椭圆C的方程为，又，即点M的坐标为(1,4)，或（舍去）椭圆方程为，（2）存在性问题，从假设存在出发. 假定存在符合题意的直线l与椭圆C相交于，因为以AB为直径的圆过原点，，设直线l
方程为.由得
，解得，满足，因此直线l的方程为.
⑴C=3，则椭圆C的方程为
又
点M的坐标为(1,4)
或（舍去）
椭圆方程为                            7分
⑵假定存在符合题意的直线l与椭圆C相交于，其方程为.
由，
，且.                         11分
因为以AB为直径的圆过原点，
 
.    ，代入.
存在这的直线l，所在直线的方程为.                 15分