已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,过点作直线交椭圆于、两点,且恰为弦的中点。求证:无论点怎样变化,的面积为常数

已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,过点作直线交椭圆于、两点,且恰为弦的中点。求证:无论点怎样变化,的面积为常数

题型:不详难度:来源:
已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,过点作直线交椭圆两点,且恰为弦的中点。求证:无论点怎样变化,的面积为常数,并求出此常数.
答案
(1)椭圆的方程为;(2)的面积为常数
解析

试题分析:(1)由题知,解这个方程组求得即可得椭圆的方程;(2)涉及直线与曲线的关系的问题,多是将直线方程与曲线方程联立再用韦达定理解决.此题中有两个椭圆,将哪个椭圆的方程与直线方程联立?此题意即直线与的交点的中点在上,故应将直线方程与的方程联立由韦达定理得中点坐标,再将中点坐标代入的方程.然后求出三角形OAB的面积的表达式,再利用前面所得关系式化为一常数即可.
试题解析:(1)由题知, 即椭圆的方程为;    4分
(2)当直线的斜率不存在时,必有,此时        5分
当直线的斜率存在时,设其斜率为、点,则
与椭圆联立,得,设
  即            8分
             9分



综上,无论怎样变化,的面积为常数.            12分
举一反三
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的最小距离为,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线两点,点,问是否存在,使?若存在求出的值,若不存在,请说明理由.
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曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为(  )
A.1B.2C.eD.

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过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A,B两点,则弦AB的长为(  )
A.4B.8C.12D.16

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椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )
A.B.C.D.

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抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是(  )
A.B.C.D.3

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