（广东地区2008年01月期末试题）已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同

题型：不详难度：来源：

（广东地区2008年01月期末试题）已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．
（1）求点M轨迹的方程；
（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．

答案

（），

解析

解（1）设点的坐标为，
∵，∴．
整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．
（2）方法一 由题意知直线的斜率存在，
设的方程为（）          ①
将①代入，
得，
由，解得．
设，，则    ②
令，则，即，即，且
由②得，
即
．
且且．
解得且
，且．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．
方法二  由题意知直线的斜率存在，
设的方程为           ①
将①代入，
整理，得，
由，解得．
设，，则         ② 
令，且 .
将代入②，得
∴．即．
∵且，∴且．
即且．
解得且．
，且．
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．