过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2为定值，并求出定值

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过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标；
（3）当

S△APO

最小时，求

•

的值．

答案

（1）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由

y=k(x-a)

y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
则k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y"=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（3）要使

S△APQ

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离 d=

2a2+2

4a2+1

(

4a2+1+3

4a2+1

(

4a2+1

)≥

当且仅当

4a2+1

即 a2=

时取等号设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=2xa+2

y=x1+1

得x²-2ax-1=0，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，

•

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₂+2）
=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4=-（1+4a²）+3a•2a+a²+4=3a²+3=

举一反三

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

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设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁，F₂为焦点，离心率为

的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的斜率；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

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在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-

，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且

=λ

，求实数λ的取值范围．

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已知双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且

=λ

，证明：λ+e²=1；
（3）设P是点F₁关于直线l的对称点，当△PF₁F₂为等腰三角形时，求e的值．

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已知直线y=x-2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则|AB|的值为（　　）

A．2

B．4

C．2

D．4

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