(1)∵椭圆C2的离心率为,长半轴长为2,∴, ∵物线C1:y2=4mx(m>0)的焦点为椭圆右焦点,∴=1,∴抛物线方程y2=4x (2)由(1)可知,椭圆方程为+=1,所以△PF1F2的周长为2a+2c=6. ①当直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2=2+,x1x2=1, ∴|A1A2|=|x1-x2|=+-5=0,解得,k=±. ②当直线l斜率不存在时,A1点坐标为(1,)A2(1,-),∴|A1A2|=2≠6,不成立. 综上,直线l的斜率为±. (3)由题意可知,椭圆中c=m.椭圆C2离心率为,∴a=2c. ∴椭圆方程为+=1由,得P点横坐标为m,在椭圆中,|PF1|+|PF2|=2a=4m, |F1F2|=2m,∴|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列, 假设存在实数m,使得△PF1F2的边长是连续的自然数,则PF2|=|F1F2|-1=2m-1,又因为P在抛物线上, ∴|F1F2|=m+m,∴m=3 |