已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为43.(1)若椭圆的离心率e=33
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1、F2,过F1作直线交椭圆于P、Q两点,△F2PQ的周长为43.(1)若椭圆的离心率e=33
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过F
1
作直线交椭圆于P、Q两点,△F
2
PQ的周长为4
3
.
(1)若椭圆的离心率e=
3
3
,求椭圆的方程;
(2)若M为椭圆上一点,
M
F
1
•
M
F
2
=1,求△MF
1
F
2
的面积最大时的椭圆方程.
答案
(1)∵△F
2
PQ的周长为4
3
,∴4a=4
3
,
∴a=
3
,
又∵椭圆的离心率e=
3
3
,∴c=1,
∴b=
a
2
-
c
2
=
2
,
∴椭圆的方程为
x
2
3
+
y
2
2
=1
…(4分)
(2)设M(x
0
,y
0
),F
1
(-c,0),F
2
(c>0),
由
M
F
1
•
M
F
2
=1,得x
0
2
+y
0
2
=c
2
+1 ①…(6分)
又b
2
x
0
2
+a
2
y
0
2
=a
2
b
2
②…(7分)
由 ①②可得y
0
2
=
2
b
2
-
b
2
c
2
c
2
=
(
a
2
-
c
2
)(2-
c
2
)
c
2
…(8分)
∵y
0
2
>0,∴c
2
<2.
又由①可知x
0
2
+y
0
2
=c
2
+1≥b
2
=a
2
-c
2
=3-c
2
,
∴c
2
≥1,
∴1≤c
2
<2.…(10分)
△MF
1
F
2
的面积=
1
2
•2c|y
0
|=
c
4
-5
c
2
+6
=
(
c
2
-
5
2
)
2
-
1
4
由函数单调性知仅当c
2
=1时△MF
1
F
2
的面积有最大值
2
,
此时
b=
a
2
-
c
2
=
2
…(11分)
∴所求的椭圆方程为
x
2
3
+
y
2
2
=1
…(12分)
举一反三
在直角坐标系中,O为坐标原点,如果一个椭圆经过点P(3,
2
),且以点F(2,0)为它的一个焦点.
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)在(1)中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,直线l:y=x+b与抛物线x
2
=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l
1
交抛物线于B,C两点,求△ABC的面积.
题型:不详
难度:
|
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如图,将圆p:x
2
+y
2
=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半(横坐标不变),得到点P,并设点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设o为坐标原点,过点Q(
3
,0)的直线l与曲线C交于两点A,B,线段AB的中点为N,且
OE
=
2
ON
,点E在曲线C上,求直线
l:
x
a
+
y
b
=1
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别是F
1
(-c,0)、F
2
(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|
F
1
Q
|=2a.点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点,点T在线段F
2
Q上,并且满足
PT
•
TF
2
=0
,|
TF
2
|≠0.
(1)求证:|PQ|=|PF
2
|;
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)若椭圆的离心率e=
3
2
,试判断轨迹C上是否存在点M,使△F
1
MF
2
的面积S=b
2
,若存在,请求出∠F
1
MF
2
的正切值.
题型:不详
难度:
|
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直线l:y=kx+1与双曲线C:3x
2
-y
2
=1相交于不同的A,B两点.
(1)求AB的长度;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出k的值,若不存在,写出理由.
题型:不详
难度:
|
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