已知直线l被椭圆x236+y29=1所截得的弦的中点为M（4，2），则l被椭圆截得的弦长为______．

题型：不详难度：来源：

已知直线l被椭圆

=1所截得的弦的中点为M（4，2），则l被椭圆截得的弦长为______．

答案

由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得（1+4k²）x²+（16k-32k²）x+64k²-64k-20=0，
∴x₁+x₂═

32k2-16k

1+4k2

=8，解得 k=-

，∴x₁x₂=14，l被椭圆截得的弦长为

64-56

故答案为

．

举一反三

将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

魔方格

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已知点A（-2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率

的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，

），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．

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已知点F(

，0)，动圆P经过点F，与直线x=-

相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求曲线W的方程；
（2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（3）当y₁y₂=-2m时，是否存在m∈R，使得

•

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：

≥2．
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ

y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-

)=2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

•

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

=λ

（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有

⊥

；
（Ⅱ）若λ=1时，有

•

106

，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当

•

×tan∠MAN的值为6

时，求直线MN的方程．

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