如图是将边长为2,有一内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E、F分别为AC、BD的中点,则下列命题中正确的是______.(将正确的
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如图是将边长为2,有一内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E、F分别为AC、BD的中点,则下列命题中正确的是______.(将正确的
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如图是将边长为2,有一内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD,点E、F分别为AC、BD的中点,则下列命题中正确的是______.(将正确的命题序号全填上).
①EF
∥
AB;
②当二面角A-BD-C的大小为60°时,AC=2;
③当四面体ABCD的体积最大时,
AC=
6
;
④AC垂直于截面BDE.
答案
依题意,作图如下:
①,F为BD的中点,取AD的中点P,易知PF
∥
AB,若EF
∥
AB,则EF
∥
PF,与二者相交矛盾,故EF不与AB平行,①错误;
②,△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形,连接AF,CF,则AF⊥BD,CF⊥BD,∠AFC就是二面角A-BD-C的平面角,
若∠AFC=60°,则△AFC为等边三角形,AC=AF=ABsin60°=2×
3
2
=
3
,故②错误;
③,当四面体ABCD以平面BCD为底面,高最大时,
该四面体ABCD的体积最大,此时平面ABC⊥平面BCD,AF就是其高,其值为
3
,
又此时△AFC为边长为
3
的等腰直角三角形,故AC=
2
•
3
=
6
,故③正确;
④,∵AF=FC,△AFC为等腰三角形,E为AC的中点,
∴AC⊥EF,又AC⊥BD,EF∩BD=F,
∴AC垂直于截面BDE,即④正确;
综上所述,命题中正确的是:③④.
故答案为:③④.
举一反三
下列古典概型的说法中正确的个数是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则P(A)=
k
n
;
④每个基本事件出现的可能性相等.
A.1
B.2
C.3
D.4
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下列命题是真命题的是( )
A.∀x∈R,x
2
+2>2
B.∃x
0
∈Q,x
0
2
=3
C.∀x∈N,x
2
≥1
D.∃x
0
∈Z,x
0
3
<1
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下列命题中的真命题是( )
A.∃x∈R,使得sinxcosx=
3
5
B.∃x∈(-∞,0),2
x
>1
C.∀x∈R,x
2
≥x-1
D.∀x∈(0,π),sinx>cosx
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已知命题p:对任意的区间[1,2]内的实数x,x
2
-a≥0恒成立;命题q:方程x
2
+2ax+2-a=0有实根.若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围.
题型:不详
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给出下列五个命题:
①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为23;
②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;
③一组数据a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2;
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
̂
y
=ax+b中,b=2,
.
x
=1,
.
y
=3,则a=1;
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90.
其中真命题为( )
A.①②④
B.②④⑤
C.②③④
D.③④⑤
题型:不详
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