设函数f(x)=x|x﹣a|+b.(1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0.(2)设常数b<﹣1,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实
题型:四川省期末题难度:来源:
设函数f(x)=x|x﹣a|+b. (1)求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0. (2)设常数b<﹣1,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)证明:充分性:若a2+b2=0,则a=b=0, ∴f(x)=x|x|对任意的x∈R都有f(﹣x)+f(x)=0 ∴f(x)为奇函数,故充分性成立 必要性:若f(x)为奇函数,则对任意的x∈R都有f(﹣x)+f(x)=0恒成立, ∴f(0)=0,解得b=0, ∴f(x)=x|x﹣a|, 由f(1)+f(﹣1)=0,即|1﹣a|﹣|a+1|=0,|1﹣a|=|1+a|得:a=0. ∴a2+b2=0. 故f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0 (2)解:由b<﹣1<0, 当x=0时a取任意实数不等式恒成立 当0<x≤1时f(x)<0恒成立,也即x+<a<x﹣恒成立 令g(x)=x+在0<x≤1上单调递增, ∴a>g(x)max=g(1)=1+b 令h(x)=x﹣,则h(x)在(0,]上单调递减,[,+∞)单调递增, 当b<﹣1时h(x)=x﹣在0<x≤1上单调递减, ∴a<h(x)min=h(1)=1﹣b. ∴1+b<a<1﹣b |
举一反三
已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若“非p”是“非q”的必要而不充分条件,求实数m的取值范围. |
给出如下四个命题: ①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题; ②若等差数列{an}的前n项和为Sn,则三点(10,),(100,),(110,)共线; ③“x∈R,+1≥1”的否定是“x∈R,+1≤1”; ④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中正确的命题的个数是 |
[ ] |
A.4 B.3 C.2 D.1 |
如果p:x>2,q:x≥2,那么p是q的( )条件. |
如果p:x>2,q:x≥2,那么p是q的( )条件. |
函数f(x)=x|x+a|+b为奇函数的充要条件为( ). |
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