已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1。

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已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q(p≠0且p≠1)，求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=-1。

答案

证明：充分性：当q=-1时，a₁=S₁=p+q=p-1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1(p-1)，
当n=1时也成立．
于是=p(n∈N₊)，即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=p+q，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1(p-1)，
∵p≠0，p≠1，
∴，
∵{a_n}为等比数列，
∴，即p-1=p+q，
∴q=-1；
综上所述，q=-1是数列{a_n}为等比数列的充要条件．