试题分析: (1)解等差数列问题,主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n项和公式求出公差d即可,(2)①利用等比数列每一项都为等差数列中项这一限制条件,对公比逐步进行验证、取舍,直到满足.因为研究的是取最小值时的通项公式,因此可从第二项开始进行验证,首先满足的就是所求的公比,②由①易得与的函数关系,并由为正整数初步限制取值范围,当且时适合题意,当且时,不合题意.再由不等式有解,归纳猜想并证明取值范围为本题难点是如何说明当时不等式即无解,可借助研究数列单调性的方法进行说明. 试题解析: (1)设等差数列的公差为,则,解得, 2分 所以. 4分 (2)因为数列是正项递增等差数列,所以数列的公比, 若,则由,得,此时,由, 解得,所以,同理; 6分 若,则由,得,此时, 另一方面,,所以,即, 8分 所以对任何正整数,是数列的第项.所以最小的公比. 所以. 10分 (3)因为,得,而, 所以当且时,所有的均为正整数,适合题意; 当且时,不全是正整数,不合题意. 而有解,所以有解,经检验,当,,时,都是的解,适合题意; 12分 下证当时,无解, 设, 则, 因为,所以在上递减, 又因为,所以恒成立,所以,所以恒成立, 又因为当时,,所以当时,无解. 15分 综上所述,的取值为 16分 |